Summary
O Método iterativo de Gauss-Jacobi é um método que tem por objetivo chegar à solução de um sistema de equações lineares, chutando um valor inicial de solução. A partir desse valor, o algoritmo é recalculado várias vezes, e chega cada vez mais perto da solução do sistema.
É bastante utilizada para resolução de sistemas de pequenas dimensões, ou de sistemas esparsos, isto é, com grande quantidade de elementos com valor 0.
Método iterativo é um procedimento que gera várias soluções aproximadas que vão melhorando à medida que o procedimento é repetido, ou seja, iterado.
Dada uma matriz quadrada de equações lineares:
em que:
A matriz pode ser dividida em uma matriz que contém apenas os elementos da diagonal somado a uma matriz que contém o resto dos elementos:
, onde:
O sistema de equações lineares pode ser reescrito como:
Isolando o :
E essa é a equação utilizada pelo método, onde substitui-se repetidamente para obter resultados cada vez mais aproximados.
A convergência é garantida:
Raio espectral é o maior autovalor em módulo. Muito trabalhoso de testar
é sempre maior que o somatório de
.
A matriz é diagonalmente dominante?
É necessário que ela cumpra os seguintes critérios:
Nesse caso é falso, pois, substituindo na primeira linha:
Um critério de parada muito utilizado é dado pela equação:
Onde é um valor muito pequeno próximo de 0.
O que essa equação faz é medir a distância entre os resultados. Se essa distância for muito pequena, menor ainda que
, significa que o valor de
é muito próximo do resultado do sistema.
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2015/MS211/Aula9.pdf
http://www-di.inf.puc-rio.br/~tcosta/cap32.htm
https://www.youtube.com/watch?v=wQ_-IKln3pY
https://pt.wikipedia.org/wiki/Método_de_Jacobi