Adding Practial Classes 1, 2, ..., 8

Práticas/P01/R1.m

@@ -0,0 +1,6 @@
+% quantas sequencias de 10 bits há?
+numB = 1; % numero de sequencias
+for k=1:10 % k equivale a uuma posicao da sequencia; desde a posicao 1 -> 10
+ numB = numB * 2;
+end
+numB

Práticas/P01/R3.m

@@ -0,0 +1,13 @@
+% por calculos cheguei a conclusao de que a probabilidade de acertar
+% todas as n respostas, escolhendo-as com igual probabilidade teorica de
+% acertar/errar corresponde a expressao p("100%") = 0.5^n
+% VAMOS CONFIRMAR
+p = 0.5;
+prompt = 'Quantas perguntas tem o teste (introduza o valor de n)? ';
+n = input(prompt);
+
+% Probabilidade Teórica
+probT = p^n
+
+% Probabilidade de Simulação
+probSim = calcP(p,n,n,1e6)

Práticas/P01/R6a.m

@@ -0,0 +1,5 @@
+for k = 1 : 6
+ for x = 1 : 6
+ z = k + x
+ end
+end

Práticas/P01/R6b.m

@@ -0,0 +1,9 @@
+% Lancam-se dois dados e toma-se nota da soma de pontos obtida
+% Calcule a probabilidade de se obter a soma 9
+N = 1e5;
+n = 2;
+k = 9;
+
+lancamentos = randi([1,6],n,N);
+sucessos = sum(lancamentos) == k; % SUCESSOS = "a soma dar 9"
+probSim = sum(sucessos) / N

Práticas/P01/R7.m

@@ -0,0 +1,11 @@
+% Um conjunto de 50 pecas contem 8 pecas defeituosas.
+% Escolhem-se aleatoriamente 10 pecas.
+% Qual a probabilidade de encontrar 3 defeituosas?
+n = 10;
+p = 8/50;
+k = 3;
+N = 1e5;
+
+probSim = calcProbSim(p, n, k, N)
+
+probT = calcProbT(p,n,k)

Práticas/P01/calcP.m

@@ -0,0 +1,6 @@
+function [p1] = calcP(p,n,k,N)
+lancamentos = rand(n,N) < p;
+sucessos= sum(lancamentos)==k;
+p1 = sum(sucessos)/N;
+end
+

Práticas/P01/ex1.m

@@ -0,0 +1,17 @@
+% Probabilidade Teórica
+% p = n!/((n-k)!k!)*p^k(1-p)^(n-k)
+
+p = 0.5;
+k = 2;
+n = 3;
+prob = factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k) % aplicacao da formula teorica
+
+% Probabilidade de simulacao
+N = 1e5; %%==1*10^5 mumero de experiencias
+n = 3; %% numero de lancamentos por experiencia
+p = 0.5; %% probabilidade de sair cara
+k = 2; %% Tenho sucesso na exp. qnd o numero de caras que sair for == 2
+
+lancamentos = rand(n,N) > p ; % se for >0.5 da 1 -> saiu cara, caso contrário saiu coroa
+sucessos = sum(lancamentos) == k ; % da-nos o numero de sucessos (ou seja, que sairam 2 caras)
+probSim = sum(sucessos)/N

Práticas/P01/ex2.m

@@ -0,0 +1,14 @@
+N = 1e5; % numero de repeticoes da experiencia
+n = 15; % numero de lancamentos
+p = 0.5; % Prob de sair cara
+k = 6; % Sucesso qnd temos 6 caras
+
+% Probabilidade Teórica
+
+probReal = factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k)
+
+% Probabilidade de Simulação
+
+lanc = rand(n,N) > p;
+succ = sum(lanc) == k;
+probSim = sum(succ)/N

Práticas/P01/ex3.m

@@ -0,0 +1,16 @@
+N = 1e5; % numero de repeticoes da experiencia
+n = 15; % numero de lancamentos
+p = 0.5; % Prob de sair cara
+k = 6; % Sucesso qnd temos 6 caras
+
+% Probabilidade de Simulação
+lancamentos = rand(n,N) > p;
+sucessos = sum(lancamentos) >= k;
+probabilidade = sum(sucessos)/ N
+
+% Probablidade Teórica
+probT = 0;
+for k = 6 : n
+ probT = probT + (factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k));
+end
+probT

Práticas/P01/ex4.m

@@ -0,0 +1,33 @@
+N = 1e5; %%#de repeticoes da experiencia
+n = 15; %%#de lancamentos
+p = 0.5; %%Prob de sair cara ou coroa
+k = 6; %%Sucesso qnd temos 6, ou mais, caras
+
+calcP(p,n,k,N);
+
+n = 20;
+
+for k = 0 : n
+ prob(k+1) = calcP(p,n,k,N); %%Prob sera um vetor em que a posicao k+1 equivale a probabilidade (tem de ser k+1 pois os vetores comecam na posicao 1, e o k inicaliza se a 0);
+ fprintf(1,'P(%d sucessos em %d lancamentos e: %.4f\n',k,n, prob(k+1));
+end
+figure(1)
+stem(prob)
+
+n = 40;
+
+for k = 0 : n
+ prob1(k+1) = calcP(p,n,k,N);
+ fprintf(1,'P(%d sucessos em %d lancamentos e: %.4f\n',k,n, prob1(k+1));
+end
+figure(2)
+stem(prob1)
+
+n = 100;
+
+for k = 0 : n
+ prob2(k+1) = calcP(p,n,k,N);
+ fprintf(1,'P(%d sucessos em %d lancamentos e: %.4f\n',k,n, prob2(k+1));
+end
+figure(3)
+stem(prob2)

Práticas/P01/ex5.m

@@ -0,0 +1,51 @@
+n = 5;
+p = 0.3;
+k = 3;
+N = 1e5;
+
+fprintf(1, 'ALINEA A)')
+% Probablidade de Simulação
+pecas = rand(n,N) < p;
+defeitos= sum(pecas)==k;
+probSim = sum(defeitos)/N
+
+% Probabilidade Teórica
+probT = factorial(n)/ ( factorial(n-k)*factorial(k))*p^k*(1-p)^(n-k)
+
+
+% ALINEA B
+fprintf(1, '\n\nALINEA B)\n')
+n = 5;
+p = 0.3;
+k = 2;
+N = 1e5;
+% Probablidade de Simulação
+lancamentos = rand(n,N) < p;
+sucessos= sum(lancamentos)<=k;
+probSim = sum(sucessos)/N
+
+% Probabilidade Teórica
+probT = 0;
+for k = 0: 2
+ probT = probT + factorial(n)/ ( factorial(n-k)*factorial(k))*p^k*(1-p)^(n-k);
+end
+probT
+
+
+% ALINEA C
+fprintf(1, '\n\nALINEA B)\n')
+n = 5;
+p = 0.3;
+k = 2;
+N = 1e5;
+% Probablidade de Simulação
+
+for k = 0 : n
+ prob(k+1) = calcP(p,n,k,N);
+ fprintf(1,'P(%d peças defeituosas em %d peças e: %.4f\n',k,n, prob(k+1));
+end
+figure(1);
+bar(1:6,prob, 'b')
+
+figure(2);
+hist(prob,5)

Práticas/P02/dardos.m

@@ -0,0 +1,17 @@
+function [p1,p2] = dardos(n,m, N)
+% temos n dardos, m alvos e N repeticoes da experienca
+% funcao que calcula 2 probs:
+% -> p1: prob de nenhum alvo ter sido atingido mais do que uma vez
+% -> p2: prob de pelo menos 1 alvo ter sido atingido 2 (ou mais) vezes
+
+alvos = randi([1 m],n,N);
+sucessos = 0;
+for i=1:N
+ if length(unique(alvos(:,i))) == n
+ sucessos = sucessos + 1;
+ end
+end
+p1 = sucessos/N;
+p2 = 1 - p1;
+end
+

Práticas/P02/ex1a.m

@@ -0,0 +1,16 @@
+N = 1e5; % numero de experiencias realizadas
+n = 2; % numero de filhos
+p = 0.5; % probabilidade de nascer rapaz (ou rapariga)
+k = 1; % "ter pelo menos um filho"
+
+% Probabilidade de Simulação
+filhos = rand(n, N) < p; % 1 -> filho ; 0 -> filha
+sucessos = sum(filhos) >= k;
+probSim = sum(sucessos)/N
+
+% Probabilidade Teórica
+probT = 0;
+for k = 1 : n
+ probT = probT + (factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k));
+end
+probT

Práticas/P02/ex1c.m

@@ -0,0 +1,31 @@
+% Seja A: "ter 2 filhos rapazes" e b: "ter um filho rapaz"
+% p(A|B) = p(AB)/p(B)
+
+% para calcular p (AB) é estimar a situação de que os 2 filhos sao rapazes
+% para calcular p(B) é estimar a situação de que pelo menos um filho é
+% rapaz
+
+N = 1e5; % numero de experiencias realizadas
+n = 2; % numero de filhos
+p = 0.5; % probabilidade de nascer rapaz (ou rapariga)
+k = 1; % "ter pelo menos um filho"
+
+% Probabilidade de Simulação
+% p(AB) ->
+filhos = rand(n, N) < p;
+sucessos = sum(filhos) == n;
+probSim = sum(sucessos)/N;
+
+% p(B) ->
+sucessos1 = sum(filhos) >= k;
+probSim1 = sum(sucessos1)/N;
+
+probSimFinal = probSim/probSim1
+
+% Probabilidade Teórica
+probB =0;
+for k = 1 : 2
+ probB = probB + factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k);
+end
+probAB = factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k);
+probT = probAB / probB

Práticas/P02/ex1d.m

@@ -0,0 +1,18 @@
+N = 1e5; % numero de experiencias realizadas
+n = 2; % numero de filhos
+p = 0.5; % probabilidade de nascer rapaz (ou rapariga)
+k = 1; % "ter pelo menos um filho"
+
+% Pobabilidade de Similução
+
+% Seja A: "ter 2º filho rapaz" e B: "o 1º filho ser rapaz"
+% p(A|B) = p(AB)/p(B)
+filhos = rand(n, N) < p;
+% p(AB) -->
+ind_1 = find(filhos(1,:)==1); % numB
+sucessos = sum(filhos(:,ind_1)) == n; %numAB
+numAB = sum(sucessos);
+% p(B) -->
+numB = sum(sum(filhos(1,:)==1));
+% prob final
+probSim = numAB/numB

Práticas/P02/ex1e.m

@@ -0,0 +1,22 @@
+% Seja A: "ter 2 filhos rapazes" e b: "ter um filho rapaz"
+% p(A|B) = p(AB)/p(B)
+
+% para calcular p (AB) é estimar a situação de que os 2 filhos sao rapazes
+% para calcular p(B) é estimar a situação de que pelo menos um filho é
+% rapaz
+
+N = 1e5; % numero de experiencias realizadas
+n = 5; % numero de filhos
+p = 0.5; % probabilidade de nascer rapaz (ou rapariga)
+k = 1; % "ter pelo menos um filho"
+
+% Probabilidade de Simulação
+% p(AB) ->
+filhos = rand(n, N) < p;
+sucessos = sum(filhos) == 2;
+probSim = sum(sucessos)/N;
+% p(B) ->
+sucessos1 = sum(filhos) >= k;
+probSim1 = sum(sucessos1)/N;
+
+probSimFinal = probSim/probSim1

Práticas/P02/ex1f.m

@@ -0,0 +1,22 @@
+% Seja A: "ter pelo menos 3 filhos rapazes" e b: "ter um filho rapaz"
+% p(A|B) = p(AB)/p(B)
+
+% para calcular p (AB) é estimar a situação de que os 2 filhos sao rapazes
+% para calcular p(B) é estimar a situação de que pelo menos um filho é
+% rapaz
+
+N = 1e5; % numero de experiencias realizadas
+n = 5; % numero de filhos
+p = 0.5; % probabilidade de nascer rapaz (ou rapariga)
+k = 1; % "ter pelo menos um filho"
+
+% Probabilidade de Simulação
+% p(AB) ->
+filhos = rand(n, N) < p;
+sucessos = sum(filhos) >= 2;
+probSim = sum(sucessos)/N;
+% p(B) ->
+sucessos1 = sum(filhos) >= k;
+probSim1 = sum(sucessos1)/N;
+
+probSimFinal = probSim/probSim1

Práticas/P02/ex2a.m

@@ -0,0 +1,12 @@
+N = 1e5;
+n = 10;
+k = 10;
+p = 0.5;
+
+% Probabilidade de Simulação
+lancamentos = rand(n, N) < p;
+sucessos = sum(lancamentos) == k;
+probSim = sum(sucessos)/N
+
+% Probabilidade Teórica
+probT = factorial(n)/ (factorial(n-k)*factorial(k)) * p^k*(1-p)^(n-k)

Práticas/P02/ex2b.m

@@ -0,0 +1,17 @@
+N = 1e7;
+n = 11;
+k = 10;
+p = 0.5;
+
+% Probabilidade de Simulação
+ % sabendo que nos primeiros 10 lancamentos saiu cara qual a prob de sair
+ % cara no 11º
+lancamentos = rand(n, N) < p;
+% b -> nos primeiros 10 lancamentos saiu cara
+sum_b = sum(sum(lancamentos(1:10,:))==10);
+
+% ab -> sair cara nos 11 lancamentos
+sum_ab = sum(sum(lancamentos) ==11);
+
+probSimFinal = sum_ab/sum_b
+

Práticas/P02/ex3.m

@@ -0,0 +1,24 @@
+N = 5e7;
+pC = 0.0001;
+pMC = 0.9;
+pMNC = 0.1;
+
+% simulação da populacao portuguesa feminina
+casosCancro = rand(1, N) < pC;
+cancroPos = sum(casosCancro == 1);
+pA = sum(cancroPos)/N;
+
+% simulação da sitacao mamograma postivo se cancro
+mamPosCanc = rand(1, N) < pMC;
+sucessos1 = sum(mamPosCanc == 1);
+pB_A = sum(sucessos1)/N;
+
+% simulação da sitacao mamograma postivo se NAO cancro
+mamPosNaoCanc = rand(1, N) < pMNC;
+sucessos2 = sum(mamPosNaoCanc == 1);
+pB_nA = sum(sucessos2)/N;
+
+pAB = pB_A * pA;
+pB = pB_A*pA + pB_nA*(1-pA);
+pA_B = pAB/pB
+