test multiline formula

_drafts/2022/bm25.md

@@ -7,6 +7,7 @@ categories:
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 在检索中，根据一个词查询相关文档，最简单的倒排索引和布尔检索。这两种方法只考虑查询词项在每个文档中出现与否，忽略了词项出现的次数。直觉上，**一个词项在文档中出现次数越多，那么该词项和文档的相关性也应该越大**。因此，可以将词项 t 在文档 d 中出现的次数，即词项频率 tf（term frequency）作为词项的权重。
 
 然而，仅使用词项频率，是将所有词项视为“同等重要”又太简单粗暴。**检索的目的是在给定文档集中找出匹配的文档，假设一个词项无法很好的区分一个文档与其他文档，那么这个词项的权重理应很小**。比如一批跟手机相关的文档集中，几乎所有文档均包含“手机”，但有一小部分文档包含了“iPhone”，那么在检索时，“手机”意义并不大，但“iPhone”可以帮助筛掉很多文档。因此，一个直观的想法是，在计算权重时也要考虑包含词项的文档数量，即文档频率 DF（document frequency）。
@@ -25,11 +26,9 @@ $$w_{t,d} = \text{TF}(t, d) \cdot \text{IDF}(t)$$
 针对第一种情况，可以对 TF 进行约束，比如取开方，同样的思想也适用于 IDF。
 针对第二种情况，可以对文档长度进行归一化，比如除以文档长度，这样长文档和短文档的权重就可以比较了。那么，一个词项 $t$ 在文档 $d$ 中的权重 $w_{t,d}$ 可以定义为：
 
-$\begin{aligned}
-w_{t,d} &= \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \text{IDF}(t)\\
-&= \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \log \frac{N}{\text{DF}(t)} \\
-&=_{\text{smooth IDF}} \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \log ( \frac{N + 1}{\text{DF}(t) + 1})
-\end{aligned}$
+<figure class="half">
+    <img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\large&space;\begin{aligned}w_{t,d}&=\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\text{IDF}(t)\\&=\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\log\frac{N}{\text{DF}(t)}\\&=_{\text{smooth&space;IDF}}\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\log(\frac{N&plus;1}{\text{DF}(t)&plus;1})\end{aligned}" width=300pt>
+</figure>
 
 其中 $\text{DL}(d)$ 是文档 $d$ 的长度，$\text{DF}(t)$ 是包含词项 $t$ 的文档数量，$N$ 是文档集合的大小。
 
@@ -81,23 +80,20 @@ $$\text{TF}^{bm25}(t, d) = \frac{x \cdot (k+1)}{x + k(1 - b(1 - \frac{\text{DL}}
 ## IDF 上的约束
 这一项说是拓展了二元独立模型的得分函数，具体推理可以参考[博客](https://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6730891.html)。
 
-$$
 \begin{aligned}
 \text{IDF}^{bm25}(t) &= \log \frac{N - \text{DF}(t) + 0.5}{\text{DF}(t) + 0.5} \\
 &= \log (\frac{N+1}{\text{DF}(t)+0.5} - 1)
 \end{aligned}
-$$
-
 
 同样， +0.5 是为了平滑，且“分子上凑个数”，满足：当 DF(t)=N 时，这一项为 0。整体上跟 TF-IDF 的差距不大。 
 
 
 ## 神奇的数字 25 
 据说是指第 25 次迭代调参才获得最终的算法，参考 https://opensourceconnections.com/blog/2015/10/16/bm25-the-next-generation-of-lucene-relevation/
 
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-<img src="https://image.ddot.cc/202311/fdcfb1a1-c20f-4a61-b287-940c22d2711c_rc.png"  width=678pt>
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+<center>
+    <img src="https://image.ddot.cc/202311/fdcfb1a1-c20f-4a61-b287-940c22d2711c_rc.png"  width=678pt>
+</center>
 
 ## 局限性 
 适用场景：

_posts/2022/2022-11-17-Okapi-BM25.md

@@ -10,6 +10,7 @@ author: GaoangLau
 {:toc}
 
 
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 在检索中，根据一个词查询相关文档，最简单的倒排索引和布尔检索。这两种方法只考虑查询词项在每个文档中出现与否，忽略了词项出现的次数。直觉上，**一个词项在文档中出现次数越多，那么该词项和文档的相关性也应该越大**。因此，可以将词项 t 在文档 d 中出现的次数，即词项频率 tf（term frequency）作为词项的权重。
 
 
@@ -31,11 +32,9 @@ $$w_{t,d} = \text{TF}(t, d) \cdot \text{IDF}(t)$$
 针对第一种情况，可以对 TF 进行约束，比如取开方，同样的思想也适用于 IDF。
 针对第二种情况，可以对文档长度进行归一化，比如除以文档长度，这样长文档和短文档的权重就可以比较了。那么，一个词项 $$t$$ 在文档 $$d$$ 中的权重 $$w_{t,d}$$ 可以定义为：
 
-$\begin{aligned}
-w_{t,d} &= \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \text{IDF}(t)\\
-&= \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \log \frac{N}{\text{DF}(t)} \\
-&=_{\text{smooth IDF}} \sqrt{\text{TF}(t, d)} \cdot \frac{1}{\text{DL}(d)} \cdot \log ( \frac{N + 1}{\text{DF}(t) + 1})
-\end{aligned}$
+<figure class="half">
+    <img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\large&space;\begin{aligned}w_{t,d}&=\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\text{IDF}(t)\\&=\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\log\frac{N}{\text{DF}(t)}\\&=_{\text{smooth&space;IDF}}\sqrt{\text{TF}(t,d)}\cdot\frac{1}{\text{DL}(d)}\cdot\log(\frac{N&plus;1}{\text{DF}(t)&plus;1})\end{aligned}" width=300pt>
+</figure>
 
 其中 $$\text{DL}(d)$$ 是文档 $$d$$ 的长度，$$\text{DF}(t)$$ 是包含词项 $$t$$ 的文档数量，$$N$$ 是文档集合的大小。
 
@@ -87,23 +86,20 @@ $$\text{TF}^{bm25}(t, d) = \frac{x \cdot (k+1)}{x + k(1 - b(1 - \frac{\text{DL}}
 ## IDF 上的约束
 这一项说是拓展了二元独立模型的得分函数，具体推理可以参考[博客](https://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6730891.html)。
 
-$$
 \begin{aligned}
 \text{IDF}^{bm25}(t) &= \log \frac{N - \text{DF}(t) + 0.5}{\text{DF}(t) + 0.5} \\
 &= \log (\frac{N+1}{\text{DF}(t)+0.5} - 1)
 \end{aligned}
-$$
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 同样， +0.5 是为了平滑，且“分子上凑个数”，满足：当 DF(t)=N 时，这一项为 0。整体上跟 TF-IDF 的差距不大。 
 
 
 ## 神奇的数字 25 
 据说是指第 25 次迭代调参才获得最终的算法，参考 https://opensourceconnections.com/blog/2015/10/16/bm25-the-next-generation-of-lucene-relevation/
 
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-<img src="https://image.ddot.cc/202311/fdcfb1a1-c20f-4a61-b287-940c22d2711c_rc.png"  width=678pt>
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+    <img src="https://image.ddot.cc/202311/fdcfb1a1-c20f-4a61-b287-940c22d2711c_rc.png"  width=678pt>
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 ## 局限性 
 适用场景：