Fixed config, added the 9th lecture

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/8lecture.tex

@@ -170,5 +170,5 @@
 	\[
 		0 \le d^2 = \|h - x\|^2 \le \|h - x - \alpha z\|^2 = d^2\underbrace{ - \tbr{y, \alpha z} - \tbr{\alpha z, y}}_{-2\re(\alpha)\tbr{z, y}} + |\alpha|^2\|z\|^2
 	\]
-	Отсюда $2\re(\alpha) \tbr{z, y} \le \alpha^2\|z\|^2$. Если рассмотреть $\eps \in \R$, $\eps > 0$ и $\alpha = \pm \eps$, то получится оценка $|2\re \tbr{z, y}| \le \eps \|z\|^2$. Так как $\eps$ произвольно, то такое возможно тогда и только тогда, когда $\tbr{z, y} = 0$, что и требовалось показать.
+	Отсюда $2\re(\alpha) \tbr{z, y} \le \alpha^2\|z\|^2$. Если рассмотреть $\eps \in \R$, $\eps > 0$ и $\alpha = \pm \eps$, то получится оценка $|2 \tbr{z, y}| \le \eps \|z\|^2$. Так как $\eps$ произвольно, то такое возможно тогда и только тогда, когда $\tbr{z, y} = 0$, что и требовалось показать.
 \end{proof}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex

@@ -0,0 +1,146 @@
+\textcolor{red}{Нужна картинка схемы доказательства}
+
+\begin{theorem} (1907г. Ф. Рисс, Фишер)
+	Пусть $H$ --- сепарабельное гильбертово пространство, $e = \{e_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq H$ --- ортонормированная система. Тогда следующие условия равносильны:
+	\begin{enumerate}
+		\item $e$ --- базис
+
+		\item $e$ --- полная система
+
+		\item $e^\bot = \{0\}$
+
+		\item Выполнено равенство Парсеваля $\forall x \in H\ \|x\|^2 = \sum_{i = 1}^\infty |\tbr{x, e_i}|^2$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item[$0$] (Предварительные сведения) \textcolor{red}{Не знаю, что сюда написать. Что-то про ряды Фурье}
+
+		\item[$1 \Lra  4$] Воспользуемся \textit{равенством Бесселя} (доказывается раскрытием квадрата нормы как скалярного произведения): $\no{x - \sum_{n = 1}^N (x, e_n)e_n}^2 = \|x\|^2 - \sum_{n = 1}^N |\tbr{x, e_n}|^2$. Так как сходимость сумм ряда к $x$ эквивалентно стремлению нормы слева к нулю, то всё доказано автоматически.
+
+		\item[$1 \Ra 2$] Тривиально
+
+		\item[$1 \La 2$] Для доказательства нужно вспомогательное утверждение:
+		\begin{lemma} (Минимальное свойство коэффициентов Фурье)
+			Пусть $\{e_n\}_{n = 1}^N \subseteq H$ --- ортонормированная система. Тогда выполнено неравенство:
+			\[
+				\forall \{\alpha_n\}_{n = 1}^N \subset \R\ \ \no{x - \sum_{n = 1}^N (x, e_n)e_n} \le \no{x - \sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n}
+			\]
+			Иначе говоря, сумма Фурье является наилучшим приближением среди всех других сумм.
+		\end{lemma}
+
+		\begin{proof}
+			Во-первых, базовое правило для выведения неравенств состоит в том, что надо работать с квадратом нормы. Во-вторых, мы просто оценим квадрат нормы справа, расписав его в явном виде (а чтобы выделить в равенствах выражение слева, мы вычтем и добавим соответствующие суммы):
+			\begin{multline*}
+				\no{x - \sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n}^2 = \|x\|^2 + \no{\sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n}^2 - 2\sum_{n = 1}^N \alpha_n \tbr{x, e_n} =
+				\\
+				\|x\|^2 - \sum_{n = 1}^N |\tbr{x, e_n}|^2 + \sum_{n = 1}^N \alpha_n^2 - 2\sum_{n = 1}^N \alpha_n\tbr{x, e_n} + \sum_{n = 1}^N |\tbr{x, e_n}|^2 =
+				\\
+				\no{x - \sum_{n = 1}^N \tbr{x, e_n}e_n}^2 + \sum_{n = 1}^N (\alpha_n - \tbr{x, e_n})^2 \ge \no{x - \sum_{n = 1}^N \tbr{x, e_n}e_n}^2
+			\end{multline*}
+		\end{proof}
+
+		Итак, $e$ --- полная система. Это значит, что любой $x \in H$ можно сколь угодно хорошо приблизить:
+		\[
+			\forall \eps > 0\ \exists T = \sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n\ \no{x - \sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n} < \eps
+		\]
+		Стало быть, в силу минимального свойства сумм Фурье верно и такое утверждение:
+		\[
+			\forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \|S_N(x) - x\| \le \|T - x\| < \eps
+		\]
+		Отсюда же мы сразу получаем сходимость сумм Фурье:
+		\[
+			\forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|S_n(x) - x\| \le \|S_N(x) - x\| < \eps
+		\]
+
+		\item[$1 \Lra 3$] Пусть $M = [e]$. Тогда, по теореме о проекции $M \oplus M^\bot = H$. Дальше всё просто:
+		\begin{itemize}
+			\item[$\Ra$] Тривиально, раз $M = H$ сразу.
+
+			\item[$\La$] Понятно, что $M^\bot$ требует ортогональности своих элементов к каждому элементу $M$, в частности $e$. Поэтому, если $e^\bot = \{0\}$, то $M^\bot = \{0\}$ и тогда $M = H$.
+		\end{itemize}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	Пусть $H$ --- сепарабельное гильбертово пространство. Тогда в $H$ существует ортонормированный базис.
+\end{theorem}
+
+\begin{note}
+	Должно быть очевидно, что, если в $H$ есть счётный базис, то $H$ --- сепарабельно.
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $X = \{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- это всюду плотное счётное множество в $H$. Так как у нас имеется процесс Грама-Шмидта, то мы можем выделить в $X$ ортонормированный базис. Коль скоро $H = [X]$, то этот базис $X$ будет полным в $H$, а по уже доказанному, стало быть, эта система будет базисом $H$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Изоморфизмом евклидовых пространств $E_1$, $E_2$} называется отображение $\phi \colon E_1 \to E_2$, которое является изоморфизмом линейных пространств и \textit{уважает скалярное произведение}:
+	\[
+		\forall x, y \in E_1\ \ \tbr{x, y}_1 = \tbr{\phi(x), \phi(y)}_2
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Если $H$ --- сепарабельное гильбертово пространство, то $H$ изоморфно пространству $\ell_2(\K)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	В сепарабельном гильбертвом пространстве есть ортонормированный базис $e$. Если рассмотреть $H$ как пространство с евклидовой метрикой, порождённой базисом $e$, то будет тривиальный изоморфизм пространств $H \cong \ell_2(\K)$ (каждому вектора ставим в соответствие его коэффициенты разложения по базису $e$).
+\end{proof}
+
+\section{Линейные ограниченные (непрерывные) операторы}
+
+\begin{note}
+	Далее обозначения $E_1, E_2$ используются для обозначения линейных нормированных пространств.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Любое линейное отображение $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{оператором}.
+\end{definition}
+
+\begin{reminder}
+	По возможности скобки для аргумента опускаются, $Ax := A(x)$.
+\end{reminder}
+
+\begin{definition}
+	Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{линейным}, если выполнено утверждение:
+	\[
+		\forall \alpha, \beta \in \K, x ,y \in E_1\ \ A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition} (не по лектору)
+	Если $A$ --- линейный оператор, то $A0 = 0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Действительно, если $A$ линеен, то верно такое равенство:
+	\[
+		A0 = A(0 + 0) = A0 + A0 \Ra A0 = 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{ограниченным}, если выполнено утверждение:
+	\[
+		\exists K \in \K \such \forall x \in E_1\ \ \|Ax\| \le K\|x\|
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Ограниченность линейного оператора $A$ необходимо и достаточно изучать на единичной сфере. Иначе говоря, такое свойство эквивалентно определению:
+	\[
+		\exists K \in \K \such \forall y \in S(0, 1)\ \ \|Ay\| \le K
+	\]
+	где $S$ от слова $Sphere$, $S(x, r) := \{y \in E_1 \colon \rho(x, y) = r\}$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Заметим, что в определении можно отказаться от рассмотрения $x = 0$, ибо $A0 = 0$ всегда. Тогда, так как оператор $A$ линеен, то верна эквивалентность:
+	\[
+		\forall x \in E_1 \bs \{0\}\quad \|Ax\| \le K\|x\| \Lra \no{\frac{Ax}{\|x\|}} \le K \Lra \no{A\frac{x}{\|x\|}} \le K
+	\]
+	При этом $y := \frac{x}{\|x\|}$, $\|y\| = 1$.
+\end{proof}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/main.tex

@@ -20,4 +20,5 @@
     \input{lectures/6lecture}
     \input{lectures/7lecture}
     \input{lectures/8lecture}
+    \input{lectures/9lecture}
 \end{document}

config.json

@@ -25,7 +25,7 @@
     "!l/4/Discrete_Analysis/2023_Raigorodsky",
     "!l/4/Calculus/2023_Lukashov",
     "!l/4/Probability_Theory/2023_Shabanov",
-    "!l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov",
-    "l/5/Statistics/2023_Savelov"
+    "l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov",
+    "!l/5/Statistics/2023_Savelov"
   ]
 }