Reworked firmly the last lecture on Probability Theory, added raw 7th…

… lecture on Functional Analysis

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/14lecture.tex

@@ -240,7 +240,7 @@ \section{Многомерное нормальное распределение}
 
     В этом случае плотность задаётся следующей формулой:
     \[
-        p_\xi(x) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^n \frac{1}{\sqrt{det \Sigma}} e^{-\frac{1}{2} \tbr{\Sigma^{-1}(x-a),\ x-a}}
+        p_\xi(x) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^n \frac{1}{\sqrt{\det \Sigma}} e^{-\frac{1}{2} \tbr{\Sigma^{-1}(x-a),\ x-a}}
     \]
 \end{exercise}
 
@@ -301,7 +301,7 @@ \section{Условное математическое ожидание}
 	\end{itemize}
 	Тогда верна следующая формула для $\E(\xi|\cC)$:
 	\[
-		\forall \omega \in \Omega \E(\xi|\cC)(\omega) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\E(\xi\chi_{D_n})}{P(D_n)} \chi_{D_n}(\omega)
+		\forall \omega \in \Omega\ \ \E(\xi|\cC)(\omega) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\E(\xi\chi_{D_n})}{P(D_n)} \chi_{D_n}(\omega)
 	\]
 \end{lemma}
 

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/2lecture.tex

@@ -188,7 +188,7 @@ \subsection{Связь вероятностной меры с функцией 
 	\[
 		P_0(\rsi{a; b} \bs \rsi{a'; b}) = P_0(\rsi{a; a'}) = F(a') - F(a) \le \eps
 	\]
-	Теперь уже рассмотрим $\forall \{A_n\}_{n = 1}^\infty, A_n \supseteq A_{n + 1}$ и $\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n = 1}^\infty A_n = \emptyset$. При фиксированном $\eps > 0$ этой последовательности получаем $\{B_n\}_{n = 1}^\infty$, по утверждению выше, с требованием $P_0(A_n \bs B_n) \le \eps / 2^n$. Разберём 2 ситуации:
+	Теперь уже рассмотрим $\forall \{A_n\}_{n = 1}^\infty, A_n \supseteq A_{n + 1}$ и $\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n = 1}^\infty A_n = \emptyset$. При фиксированном $\eps > 0$ этой последовательности получаем $\{B_n\}_{n = 1}^\infty$ по утверждению выше, с требованием $P_0(A_n \bs B_n) \le \eps / 2^n$. Разберём 2 ситуации:
 	\begin{enumerate}
 		\item Существует такое $N \in \N$, что $\forall n \in \N\ A_n \subseteq [-N; N]$. Так как $\cl B_n \subseteq A_n$, то тривиальным образом $\lim_{n \to \infty} \cl B_n = \emptyset \Ra \lim_{n \to \infty} \R \bs \cl B_n = \R$. Коль скоро эта последовательность образует открытое счётное покрытие $[-N; N]$, то
 		\[

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/5lecture.tex

@@ -291,7 +291,7 @@ \subsection{Независимость случайных величин и ве
 		\[
 			\cM_i = \{\{\xi_i \le x\},\ x \in \R\}
 		\]
-		Очевидно, что эти системы являются независимыми $\pi$-системами и, более того, $\sigma(\cM_i) \subseteq \F_{\xi_i}$. За счёт последнего свойства мы можем сказать, что любое множество из $\cM_i$ есть прообраз некоторого борелевского множества по $\xi_i$. Осталось показать, что на самом деле у нас есть прообразы для всех борелевских множеств. Введём систему подходящих борелевских множеств $\cD_i$:
+		Очевидно, что эти системы являются независимыми $\pi$-системами и, более того, есть вложение $\sigma(\cM_i) \subseteq \F_{\xi_i}$. За счёт последнего свойства мы можем сказать, что любое множество из $\cM_i$ есть прообраз некоторого борелевского множества по $\xi_i$. Осталось показать, что на самом деле у нас есть прообразы для всех борелевских множеств. Введём систему подходящих борелевских множеств $\cD_i$:
 		\[
 			\cD_i = \{B \in \B(\R) \colon \{\xi_i \in B\} \in \sigma(\cM_i)\}
 		\]

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/7lecture.tex

@@ -80,7 +80,7 @@ \subsection{Формулы вычисления математического 
 \end{note}
 
 \begin{example}
-	Пусть случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения следующего вида (экспоненциальное распределение):
+	Пусть случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения следующего вида (урезанное экспоненциальное распределение):
 	\[
 		F(x) = \System{
 			&{0,\ x < 0}
@@ -167,7 +167,7 @@ \section{Прямое произведение вероятностных про
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Рассмотрим случайную величину $(\xi, \eta) \colon \Omega \to \R^2$ и плоскость принимаемых значений (по горизонтали $\xi$, по вертикали $\eta$). Тогда точка $(x, y)$ соответствует событиям $\{t \in \R \colon \xi(t) = x \wedge \eta(t) = y\}$. Условие $\xi + \eta \le z$ можно интерпретировать как множество всех точек плоскости под прямой $y = z - x$. Обозначим это множество за $A \subset \R^2$, тогда
+	Рассмотрим случайную величину $(\xi, \eta) \colon \Omega \to \R^2$ и плоскость принимаемых значений (по горизонтали $\xi$, по вертикали $\eta$). Тогда точка $(x, y)$ соответствует событиям $\{t \in \Omega \colon \xi(t) = x \wedge \eta(t) = y\}$. Условие $\xi + \eta \le z$ можно интерпретировать как множество всех точек плоскости под прямой $y = z - x$. Обозначим это множество за $A \subset \R^2$, тогда
 	\[
 		F_{\xi + \eta}(z) = P(\xi + \eta \le z) = P((\xi, \eta) \in A) = P_{(\xi, \eta)}(A)
 	\]

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/6lecture.tex

@@ -8,8 +8,16 @@
 	\end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{note}
+	Далее, если явно не оговорено иного, мы используем обозначение $K$ для либо пространства $\R$, либо пространства $\Cm$.
+\end{note}
+
+\begin{note}
+	$C(X, K)$ --- обозначение класса непрерывных функций из $X$ в $K$.
+\end{note}
+
 \begin{theorem} (Кантора)
-	Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство, $f \in C(X, K)$, где $K \in \{\R, \Cm\}$. Тогда $f \in \hat{C}(X, K)$:
+	Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство, а также $f \in C(X, K)$. Тогда $f \in \hat{C}(X, K)$:
 	\[
 		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta\ \ |fx - fy| < \eps
 	\]
@@ -38,6 +46,10 @@
 	Пусть $X$ --- метрическое пространство. $Y \subseteq X$ называется \textit{предкомпактным}, если $\cl Y$ --- компактно. В такой ситуации говорят, что \textit{$Y$ компактно относительно $X$}.
 \end{definition}
 
+\begin{exercise}
+	Если $X$ --- полное компактное метрическое множество, то для предкомпактности $Y \subseteq X$ необходимо и достаточно только условия вполне ограниченности.
+\end{exercise}
+
 \begin{theorem} (Арц\'{е}ла-Аск\'{о}ли)
 	Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство, $M \subseteq C(X, K)$. Множество $M$ является предкомпактным тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия:
 	\begin{enumerate}
@@ -54,31 +66,35 @@
 	\begin{itemize}
 		\item[$\Ra$] Будем доказывать каждый пункт отдельно:
 		\begin{enumerate}
-			\item Коль скоро $X$ компактно, оно также вполне ограничено. Отсюда следующее:
+			\item Коль скоро $M$ предкомпактно, оно вполне ограничено. Отсюда по определению:
 			\[
-				\forall \eps > 0\ \exists \{\phi_k\}_{k = 1}^n \such \forall f \in M\ \exists \phi_k\ \ \rho(f, \phi_k) = \|f - \phi_k\| < \eps
+				\forall \eps > 0\ \exists \{\phi_k\}_{k = 1}^n \such \forall f \in M\ \exists \phi_m\ \ \rho(f, \phi_m) = \|f - \phi_m\| < \eps
 			\]
-			Стало быть, $\|f\|$ можно оценить таким образом:
+			Стало быть, при фиксированном $\eps > 0$ можно оценить $\|f\|$ таким образом:
 			\[
-				\forall f \in M\ \ \|f\| \le \|f - \phi_k\| + \|\phi_k\| < \eps + \max_{k \in \range{1}{n}} \|\phi_k\|
+				\forall f \in M\ \ \|f\| \le \|f - \phi_m\| + \|\phi_m\| < \eps + \max_{k \in \range{1}{n}} \|\phi_k\|
 			\]
 
-			\item В силу компактности, $\{\phi_k\}_{k = 1}^n$ --- равномерно непрерывные функции, то есть
+			\item Снова пойдём через $\eps$-сеть. Заметим, что $\{\phi_k\}_{k = 1}^n$ являются равномерно непрерыными в силу теоремы Кантора. Это означает, что для каждой функции верно утверждение:
 			\[
 				\forall \eps > 0\ \exists \delta_k > 0 \such \forall x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta_k\ \ |\phi_kx - \phi_ky| < \eps
 			\]
+			Положим $\delta := \min_{k \in \range{1}{n}} \delta_k$. Тогда для любой пары точек $x, y \in X$ с расстоянием $\rho(x, y) < \delta$ можно записать несложную оценку для любой $f \in M$ (полагая, что $\phi_m$ --- это функция, соответствующая $f$ по определению вполне ограниченности):
+			\[
+				|fx - fy| \le |fx - \phi_m x| + |\phi_m x - \phi_m y| + |\phi_m y - fy| < 3\eps
+			\]
 		\end{enumerate}
-		Положим $\delta := \min_{k \in \range{1}{n}} \delta_k$. Тогда оценку получить несложно:
-		\[
-			|fx - fy| \le |fx - \phi_k x| + |\phi_k x - \phi_k y| + |\phi_k y - fy| < 3\eps
-		\]
 
-		\item[$\La$] 
+		\item[$\La$] Докажем только частный случай $X = [a; b]$. 
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
+\begin{anote}
+	Приведу доказательство общего случая для теоремы выше.
+\end{anote}
+
 \section{Линейно нормированные пространства}
 
 \begin{exercise}
-	Пусть $E$ --- линейно нормированное пространство над $K$, $M = \tbr{e_1, \ldots, e_n}$
+	Пусть $E$ --- линейно нормированное пространство над $K$, $M = \tbr{e_1, \ldots, e_n}$. Докажите, что $M$ является замкнутым множеством.
 \end{exercise}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex

@@ -0,0 +1,165 @@
+\textcolor{red}{$K = \Cm \vee \R$}
+
+\begin{definition}
+	Пространство $E$ называется \textit{линейно нормированным}, если выполнено 2 условия:
+	\begin{enumerate}
+		\item $E$ --- линейное пространство над $K$
+
+		\item В пространстве $E$ существует \textit{оператор нормы} $\|\cdot\| \colon E \to \R_+$. Он удовлетворяет следующим условиям:
+		\begin{enumerate}
+			\item $\forall x \in E\ \ \|x\| \ge 0 \wedge \|x\| = 0 \Lra x = 0$
+
+			\item $\forall x \in E,\ \alpha \in \R\ \ \|\alpha x\| = |\alpha| \cdot \|x\|$
+
+			\item $\forall x, y \in E\ \ \|x  + y\| \le \|x\| + \|y\|$
+		\end{enumerate}
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Любое линейно нормированное пространство является метрическим с индуцированной нормой метрикой $\rho(x, y) = \|x - y\|$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	\textcolor{red}{Дописать}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Полное линейно нормированное пространство называется \textit{банаховым}.
+\end{definition}
+
+\begin{example}~
+	\begin{enumerate}
+		\item $\R^n$ является банаховым пространством
+
+		\item $C[a; b]$ со своей собственной нормой $\|f\| = \min_{[a; b]} |f|$ является банаховым
+
+		\item \textcolor{red}{Дописать}
+	\end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{note}
+	Далее буква $E$ закрепляется за линейно нормированным пространством. 
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Линейным многообразием} $L \subseteq E$ называется линейная оболочка $\tbr{L}$. \textcolor{red}{Поправить формулировку}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пространство $L \subseteq E$ называется \textit{подпространством в $E$}, если $L$ --- линейное многообразие.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Линейной оболочкой множества} $S \subseteq E$ называется множество всех конечных линейных комбинаций элементов из $S$. Обозначается как $[S]$ или $\Lin S$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Норма $\|\cdot\|_1$ \textit{слабее, чем} норма $\|\cdot\|_2$, если выполнено условие:
+	\[
+		\exists C > 0 \such \forall x \in E\ \ \|x\|_1 \le C\|x\|_2
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	В пространстве $C[a; b]$ норма $\|\cdot\|_1$ слабее нормы $\|\|_{C[a; b]}$:
+	\[
+		\int_a^b |f(x)|dx \le \max_{x \in [a; b]} |f(x)| \cdot (b - a) = \|f\|_C \cdot (b - a)
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Нормы $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ эквивалентны, если они слабее друг друга \textcolor{red}{Нужно явно другое слово для определения}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $E$ --- линейно нормированное пространство над $\R$. Тогда множество $S \subseteq E$ называется \textit{выпуклым}, если выполнено утверждение:
+	\[
+		\forall x, y \in S\ \forall \lambda \in [0; 1]\ \ \lambda x + (1 - \lambda)y \in S
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Базисом} $E$ называется набор векторов $\{v_k\}_{k = 1}^\infty$ такой, что $\tbr{\{v_k\}_{k = 1}^\infty} = E$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textcolor{red}{Базис Гамеля и базис Шаудера}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Размерностью} $E$ называется мощность базиса в пространстве $E$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $E_1, E_2$ --- линейно нормированные пространства. Отображение $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{оператором}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $E$ --- линейно нормированное пространство над $K$. Тогда отображение $f \colon E \to K$ называется \textit{функционалом}.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Пусть $\dim E < \infty$. Тогда на $E$ все нормы эквивалентны.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	\textcolor{red}{Ниже приведено доказательство над $\R$}. Рассмотрим ортонормированный базис $\{e_1, \ldots, e_n\}$. Покажем, что произвольная норма $\|\cdot\|_1$ является эквивалентной к норме, порождённой ортогональным базисом:
+	\[
+		\|x\| = \no{\sum_{k = 1}^n \alpha_k e_k} = \sqrt{\sum_{k = 1}^n \alpha_k^2}
+	\]
+	\begin{itemize}
+		\item[$\Ra$] Обозначим $\kappa = \max_{k \in \range{1}{n}} \|e_k\|_1$. Имеет место цепочка неравенств:
+		\[
+			\|x\|_1 = \no{\sum_{k = 1}^n \alpha_ke_k}_1 \le \sum_{k = 1}^n \|\alpha_ke_k\|_1 \le \kappa \sum_{k = 1}^n |\alpha_k| \le \kappa \sqrt{n} \cdot \|x\|
+		\]
+		Последний переход --- неравенство Коши между средним арифметическим и квадратичным.
+
+		\item[$\La$] Предположим противное. \textcolor{red}{Дописать}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Пусть $L = \tbr{e_1, \ldots, e_n}$. Тогда $L$ --- банахово пространство.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	$L$ --- конечномерное пространство. По доказанной теореме, все нормы в нём эквивалентны. В частности, можно рассмотреть $L$ как подпространство $\R^n$. Тогда норма на $L$ эквивалентна евклидовой норме, а стало быть есть полнота. \textcolor{red}{Последний переход не понял}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	Пусть $\{e_1, \ldots, e_n\} \subseteq E$. Тогда $\tbr{e_1, \ldots, e_n}$ является подпространством $E$.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem} (Ф. Рисса)
+	Пусть $E$ --- бесконечномерное пространство. Тогда единичная сфера в $E$ не является вполне ограниченной.
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+	Единичная сфера не компактна.
+\end{corollary}
+
+\begin{lemma} (о <<почти перпендикуляре>>)
+	Пусть $E_1 \subset E$ --- подпространство. Тогда выполнено утверждение:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists y \in E \colon \System{
+			&{\|y\| = 1}
+			\\
+			&{\rho(y, E_1) > 1 - \eps}
+		}
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{note}
+	Тот факт, что $E_1$ --- не просто линейное многообразие, а подпространство, существенно.
+
+	Рассмотрим $E = C[0; 1]$, $E_1 = \mathcal{P}$. Тогда $E_1$ --- не подпространство.
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Коль скоро $E_1 \neq E$, то существует $y_0 \notin E_1$. Введём обозначение $d = \rho(y_0, E_1)$. Сразу понятно, что в силу замыкания не может быть $d = 0$, иначе $y_0 \in E_1$. Из определения расстояния, в частности, верно утверждение:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists z_0 \in E_1 \such d \le \|y_0 - z_0\| < d(1 + \eps)
+	\]
+	Посмотрим на вектор $y = \frac{y_0 - z_0}{\|y_0 - z_0\|}$. Обозначим коэффициент при векторе за $\alpha$. Сразу видно, что $\|y\| = 1$, поэтому осталось проверить только расстояние 
+\end{proof}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/main.tex

@@ -18,4 +18,5 @@
     \input{lectures/4lecture}
     \input{lectures/5lecture}
     \input{lectures/6lecture}
+    \input{lectures/7lecture}
 \end{document}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/preamble/preamble.tex

@@ -48,6 +48,7 @@
 \DeclareMathOperator{\vol}{vol}
 \DeclareMathOperator{\supp}{supp}
 \DeclareMathOperator{\Ran}{Ran}
+\DeclareMathOperator{\Lin}{Lin}
 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}