01.04 Marco de referencia rotatorio

# Marco de referencia rotatorio

El enfoque general es utilizar la transformada de amplitud constante, por lo que para las tensiones y corrientes del estátor se utiliza

$$\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \\ v_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{bmatrix}$$

y

$$\begin{bmatrix} i_d \\ i_q \\ i_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix} \text{.}$$

El modelo de circuito equivalente se divide en los circuitos del eje $d$ y el eje $q$.

Se puede observar que

$$v_d = v_{R_s} - \omega_e \cdot L_q \cdot i_q + v_{L_d}$$

$$v_d = R_s\cdot i_d - \omega_e \cdot L_q \cdot i_q + L_d\cdot\frac{d i_d}{d t}$$

y

$$v_q = v_{R_s} - \omega_e \cdot L_d \cdot i_d + \omega_e \cdot \lambda_m + v_{L_q}$$

$$v_q = R_s\cdot i_q - \omega_e \cdot L_d \cdot i_d + \omega_e \cdot \lambda_m + L_q\cdot\frac{d i_q}{d t} \text{ .}$$

En estado estacionario, es decir, sin cambios muy bruscos de la corriente, el término diferencial puede ser eliminado, de manera que

$$v_d = R_s\cdot i_d - \omega_e \cdot L_q \cdot i_q \label{eq_vd}$$ $$v_q = R_s\cdot i_q - \omega_e \cdot L_d \cdot i_q + \omega_e \cdot \lambda_m \text{ ,} \label{eq_vq}$$

donde

• $v_d$ y $v_q$ son las tensiones en los ejes d y q respectivamente.

• $i_d$ y $i_q$ son las corrientes en los ejes d y q respectivamente.

• $L_d$ y $L_q$ son las inductancias en los ejes d y q respectivamente.

• $\omega_e$ es la velocidad eléctrica, que es la velocidad mecánica multiplicada por el número de pares de polos del PMSM ($\omega_e = \omega_m \cdot pp = \omega_m \cdot \frac{n}{2}$).

• $\lambda_m$ es el flujo magnético generado por los imanes permanentes. La magnitud del flujo magnético generado afecta directamente la magnitud de la tensión inducida en las fases del estátor. Este parámetro se puede transformar fácilmente en $k_E$, que es la relación entre la velocidad mecánica del rotor y la tensión generada en las 3 fases.

Hay PMSM cuyos imanes están montados dentro del rotor (IPM) y otros cuyos imanes están en la superficie del rotor (SPM). Esta diferenciación juega un papel importante en el desarrollo del modelo y el control, porque en los SPM se cumple $L_d = L_q$, a menudo escrito solo como $L$. Además, si se trata de un IPM, la orientación de los imanes puede cambiar las trayectorias del control, de manera que si son imanes tangenciales se da $L_d > L_q$ y si son imanes radiales $L_d < L_q$. Se desarrollarán las ecuaciones para motores IPM con imanes radiales, pero se ha de tener en cuenta que se pueden realizar muchas simplificaciones si el motor es un SPM. Una situación que se dará es que algunas ecuaciones tienen alguna forma de $L_d - L_q$ como denominador, lo cual es bastante problemático si se está tratando de implementar la ecuación directamente. Por ese motivo, es mejor diferenciar el tipo de motor antes de implementar las ecuaciones. Una solución válida es tener en cuenta la anisotropía magnética que suelen presentar la mayoría de SPMs, con lo que $L_d < L_q$ y se pueden aplicar las ecuaciones del IPM a costa de potencia de cálculo, de ejecutarse el control en tiempo real.

La potencia eléctrica se define como

$$p_e = \frac{3}{2}\cdot(v_d i_d + v_q i_q) \text{ .}$$

Si se supone que la máquina es perfectamente eficiente, se puede decir que la potencia mecánica es igual a la potencia eléctrica, $p_e = p_m$. Sabiendo que $p_m = \omega_m T_{\text{em}}$, donde $T_{\text{em}}$ es el par electromagnético producido, se puede derivar que

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2\cdot \omega_m}\cdot(v_d i_d + v_q i_q) = \frac{3}{2\cdot \omega_e}\frac{n}{2}\cdot(v_d i_d + v_q i_q)$$

$$\therefore T_{\text{em}} = \frac{3}{2}\frac{n}{2}\cdot((L_d - L_q) i_q i_d + \lambda_m i_q) \text{ .} \label{eq_tq_dq}$$

También se puede establecer un límite de voltaje, porque el PMSM generalmente se controla con un inversor de fuente de voltaje (VSI) modulado por SVPWM y la tensión de salida $V_s$ está limitada a $\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}$. En esta ecuación, no se considera la caída de tensión por la resistencia del estátor $R_s$, ya que haría que las ecuaciones fueran muy densas y el efecto de esta caída de voltaje es despreciable a altas velocidades. Por ello,

$$v_s = \sqrt{v_d^2 + v_q^2} \leq \frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}$$ $$\therefore \sqrt{\left(R_s\cdot i_d - \omega_e \cdot L_q \cdot i_q\right)^2 + \left(R_s\cdot i_q - \omega_e \cdot L_d \cdot i_q + \omega_e \cdot \lambda_m\right)^2} \leq \frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}} \text{ .}$$

Despreciando los términos con $R_s$, $$\sqrt{\left(- \omega_e \cdot L_q \cdot i_q\right)^2 + \left(- \omega_e \cdot L_d \cdot i_q + \omega_e \cdot \lambda_m\right)^2} \leq \frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}} \text{ .}$$

Y reordenando, $$\left(\frac{\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}}{\omega_e}\right)^2 \geq \left(\lambda_m+L_d\cdot i_d\right)^2+(L_q\cdot i_q)^2 \text{ .} \label{eq_vle_dq}$$