02.01 Trayectorias de control

# Trayectorias de control

En un monoplaza de Formula Student, se desea que la salida de par esté perfectamente controlada y conocida para que el algoritmo de dinámica vehicular pueda estimar correctamente las fuerzas en los neumáticos. También es deseable que el motor pueda girar más rápido cuando no se requiere más par, ya que no es necesaria mucha tracción a altas velocidades del vehículo. Además, es necesario que sea eficiente para aprovechar mejor la energía de la batería. Con estos requisitos en mente, se estudian 4 trayectorias de control adecuadas para esta aplicación.

MTPA (Máximo Par Por Amperio)

La trayectoria de control más utilizada es el MTPA, o Máximo Par Por Amperio. Como su nombre indica, minimiza la corriente para entregar un par determinado. La condición que se debe cumplir es

$$\frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \gamma} = 0 \text{ .}$$

La expresión analítica se desarrolla partiendo de la ecuación de par en forma polar [eq_tq_pol],

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot((L_d - L_q)\cdot i_s^2 \cdot \sin(\gamma)\cos(\gamma) + \lambda_m\cdot i_s\cdot \sin(\gamma))$$

$$\frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \gamma} = \frac{\partial}{\partial \gamma} \frac{3}{2}pp\cdot(i_s^2 \cos(\gamma)\sin(\gamma)\cdot((L_d - L_q) + \lambda_m i_s \sin(\gamma)) = 0$$

$$\therefore i_{s,\text{MTPA}} = -\frac{\lambda_m \cos(\gamma)}{(2\cdot\cos(\gamma)^2 - 1)\cdot(L_d-L_q)} \text{ .}$$

Para la aplicación de esta trayectoria en el control se busca el ángulo como función de la corriente, y para ello se debe despejar $\gamma_{\text{MTPA}}$ de la expresión.

$$\gamma_{\text{MTPA}} = \frac{\pi}{2} + \arcsin\left( \frac{\lambda_m - \sqrt{8(L_d-L_q)^2 \cdot i_s^2 + \lambda_m^2}}{4\cdot i_s(L_d-L_q)}\right)$$

El resultado de graficar esta expresión sobre el plano $(i_d, i_q)$ deja a la vista que el módulo de corriente es mínimo para cada hipérbola de par.

CTC (Curva de Par Constante)

Como se puede observar, las hipérbolas de par definen una trayectoria la cual permite mantener un par constante. Recordando las elipses de tensión, para un mismo valor de $V_s$ las elipses se contraen hacia el foco a medida que la velocidad aumenta. Esto significa que siguiendo la curva de par constante de derecha a izquierda se puede mantener el par aumentando la velocidad. Usando la expresión [eq_tq_pol] se puede obtener directamente $$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot((L_d - L_q)\cdot i_s^2 \cdot \sin(\gamma)\cos(\gamma) + \lambda_m\cdot i_s\cdot \sin(\gamma))$$

$$\therefore i_{s,\text{CTC}} = \frac{\lambda_m}{L_d} \cdot \frac{\sqrt{\sin(\gamma)^2+\frac{4\cdot\frac{L_d-L_q}{L_d}\cdot\sin(2\gamma)\cdot T_{\text{em}}\cdot L_d}{3\cdot pp \cdot \lambda_m^2}}-\sin(\gamma)}{\sin(2\gamma)\cdot(\frac{L_d-L_q}{L_d})} \text{ .}$$

MTPV (Máximo Par Por Voltio)

Existe una trayectoria que permite maximizar el par entregado por el motor en rangos de velocidad muy altos donde el límite es la tensión que puede sintetizar la controladora. La condición que se debe cumplir es que

$$\frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \delta} = 0 \text{.}$$

Donde $\delta$ es el ángulo del vector de tensión $V_s$, de la misma manera que $\gamma$ es el ángulo del vector de corriente $I_s$. La expresión analítica se desarrolla a partir de la expresión de par en coordenadas cartesianas ([eq_tq_dq]), de manera que

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot((L_d - L_q) i_q i_d + \lambda_m i_q) \text{ .}$$

Se aíslan $i_d$ e $i_q$ de [eq_vd] y [eq_vq], negligiendo la caída de tensión resistiva del estátor, $$i_d = \frac{v_q}{\omega_e \cdot L_d} - \frac{\lambda_m}{L_d}; i_q = -\frac{v_d}{\omega_e \cdot L_q}$$

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot\left((L_d - L_q) (-\frac{v_d}{\omega_e \cdot L_q}) (\frac{v_q}{\omega_e \cdot L_d} - \frac{\lambda_m}{L_d}) + \lambda_m (-\frac{v_d}{\omega_e \cdot L_q})\right)$$

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot\left((L_d - L_q) (-\frac{V_s \cdot \cos(\delta)}{\omega_e \cdot L_q}) (\frac{V_s \cdot \sin(\delta)}{\omega_e \cdot L_d} - \frac{\lambda_m}{L_d}) + \lambda_m (-\frac{V_s \cdot \cos(\delta)}{\omega_e \cdot L_q})\right)$$

$$\begin{split} \therefore \frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \delta} = \frac{3}{2}pp\cdot ( (L_d - L_q) \cdot (\frac{V_s \cdot \sin(\delta)}{\omega_e \cdot L_q}) \cdot (\frac{V_s \cdot \sin(\delta)}{\omega_e \cdot L_d} - \frac{\lambda_m}{L_d})\\ -\left(\frac{V_s \cdot \cos(\delta)}{\omega_e}\right)^2 \cdot \frac{L_d - L_q}{L_d\cdot L_q}\\ -\frac{\lambda_m \cdot V_s \cdot \sin(\delta)}{L_q \cdot \omega_e} ) = 0 \text{ .} \end{split}$$

Definiendo la saliencia $$\xi = \frac{L_q}{L_d}$$

y aislando, se obtiene $$\begin{split} i_{s,\text{MTPV}} = \frac{\lambda_m}{L_d} ( \frac{-(2 - \xi) \cos(\gamma)}{2(1 - \xi)(1 + (\xi)^2) \cos(\gamma)^2 - 2(1 - \xi) (\xi)^2}\ -\frac{\sqrt{(2 - \xi)^2 \cos(\gamma)^2 - 4(1 - \xi)(1 + (\xi)^2) \cos(\gamma)^2 - 4(1 - \xi) (\xi)^2}}{2(1 - \xi)(1 + (\xi)^2) \cos(\gamma)^2 - 2(1 - \xi) (\xi)^2} ) \text{ .} \end{split}$$

Cabe destacar que esta trayectoria solamente se puede ejecutar si se cumple la condición de que $I_{\text{sc}} \leq I_{s,\text{máx}}$.

CVL (Límites de Corriente y Voltaje)

Por último, se presentan los límites eléctricos del motor y del convertidor. El límite de corriente consiste simplemente en saturar la magnitud de la corriente de manera que no sobrepase el valor máximo establecido. La trayectoria sería sencillamente seguir el círculo de corriente anteriormente presentado (CLC), con la siguiente expresión:

$$i_{s,\text{CLC}} = I_{s,\text{máx}} , \forall \gamma \in [0,2\pi]$$

El límite de tensión del motor en realidad se puede entender como la velocidad máxima a la que se puede llegar con una determinada tensión. Por ello, se usa la forma polar de la expresión de las elipses de tensión (VLE),

$$1 \geq \frac{\left(\frac{\lambda_m}{L_d}+i_s \cdot \cos(\gamma)\right)^2}{\left(\frac{\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}}{L_d\cdot\omega_e}\right)^2}+\frac{(i_s \cdot \sin(\gamma))^2}{\left(\frac{\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}}{L_q\cdot\omega_e}\right)^2} \text{.}$$

Igual que para el resto de trayectorias, se debe obtener una expresión de la elipse en función de $I_s$ y $\gamma$. Ya que no es trivial despejar estas variables de la expresión anterior, se manipula usando la ecuación polar de la elipse desplazada del origen, de manera que $$\rho(\theta) = \frac{b^2 x \cos (\theta ) + a^2 y \sin (\theta )\pm a b \sqrt{\left(a^2-x^2\right) \sin ^2(\theta )+\left(b^2-y^2\right) \cos ^2(\theta )+2 x y \sin (\theta ) \cos (\theta )}}{a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )} \text{.}$$

Dado que estas elipses tan solo están desplazadas en el eje $x$, se pueden eliminar todos los términos referentes al desplazamiento en $y$. $$\rho(\theta) = \frac{b^2 x \cos (\theta ) \pm a b \sqrt{\left(a^2-x^2\right) \sin ^2(\theta )+\left(b^2\right) \cos ^2(\theta )}}{a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )}$$

Sustituyendo por los términos conocidos y simplificando,

$$i_{s,\text{VLE}} =\frac{\left(\frac{1}{L_q}\right)^2\left(-I_{s c}\right) \cos (\gamma) \pm \frac{1}{L_d \cdot L_q} \sqrt{\left(\left(\frac{V_s}{L_d \cdot \omega_e}\right)^2-\left(-I_{s c}\right)^2\right) \sin ^2(\gamma)+\left(\frac{V_s}{L_q \cdot \omega_e}\right)^2 \cos ^2(\gamma)}}{\left(\frac{1}{L_d}\right)^2 \sin ^2(\gamma)+\left(\frac{1}{L_q}\right)^2 \cos ^2(\gamma)} \text{.}$$

Además, el inversor es capaz de sintetizar un máximo de $V_s = \frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}$ utilizando SVPWM, por lo tanto, se debe saturar la consigna de tensión a ese valor. Adicionalmente, por seguridad, se multiplica por un factor de seguridad $K_{\text{FW}} \in (0,1)$.

$$V_{s,\text{máx}} \leq \frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}\cdot K_{\text{FW}}$$