01.05 Curvas características del PMSM

# Curvas características del PMSM

Curva de par-velocidad y potencia-velocidad

Las primeras curvas estudiadas son las de par-velocidad y potencia-velocidad. Definen la intención de diseño del PMSM, ilustrando el rendimiento deseado. El objetivo al diseñar el control es tratar de igualar o incluso superar estas curvas.

La curva es una función por tramos, que toma $T_{\text{em,máx}}$, $\omega_{\text{m,máx}}$ y $P_{\text{m,máx}}$ como sus parámetros.

La curva es constante desde $\omega_\text{m} = 0$ hasta $\omega_\text{m} = \omega_{\text{m,nom}} = \frac{P_{\text{m,máx}}}{T_{\text{em,máx}}}$, donde su valor es $T_{\text{em,máx}}$. Esta porción es lo que se conoce como la zona de par constante. Desde $\omega_\text{m} = \omega_{\text{m,nom}}$ hasta $\omega_\text{m} = \omega_{\text{m,máx}}$, $T_{\text{em}}$ se define como $T_{\text{em}} = \frac{P_{\text{m,máx}}}{\omega_\text{m}}$, lo que da una curva de tipo $y=\frac{a}{x}$. Esto se llama la zona de potencia constante.

$$T_{\text{em}} = \begin{cases} T_{\text{em,máx}} & -\omega_{\text{m,nom}} < \omega_\text{m} < \omega_{\text{m,nom}} \\ -T_{\text{em,máx}} & -\omega_{\text{m,nom}} < \omega_\text{m} < \omega_{\text{m,nom}} \\ \frac{P_{\text{m,máx}}}{\omega_\text{m}} & \omega_{\text{m,nom}}\leq \omega_\text{m}\leq \omega_{\text{m,máx}} (T_{\text{em,máx}}),-\omega_{\text{m,máx}}\leq \omega_\text{m}\leq -\omega_{\text{m,nom}} (-T_{\text{em,máx}})\\ -\frac{P_{\text{m,máx}}}{\omega_\text{m}} & \omega_{\text{m,nom}}\leq \omega_\text{m}\leq \omega_{\text{m,máx}} (-T_{\text{em,máx}}),-\omega_{\text{m,máx}}\leq \omega_\text{m}\leq -\omega_{\text{m,nom}} (T_{\text{em,máx}}) \end{cases}$$

Además $P_\text{m}$ aumentará linealmente con $\omega_\text{m}$ hasta $\omega_{\text{m,nom}}$, ya que $P_\text{m} = T_{\text{em}} \cdot \omega_\text{m}$. Desde $\omega_{\text{m,nom}}$ hasta $\omega_{\text{m,máx}}$, $P_\text{m}$ es una recta de valor $P_{\text{m,máx}}$.

CLC (Círculo de Límite de Corriente)

Es obvio que la corriente eléctrica suministrada al PMSM debe estar limitada. Por lo general, el fabricante del motor establecerá la corriente alterna máxima, lo cual se traduce en un límite para $i_d$ y $i_q$.

A continuación, se presenta un gráfico muy útil para conocer los límites del motor. Se establecen los ejes como $i_d$ e $i_q$. Por ejemplo, si un motor está funcionando con $i_d = -1 \text{ A}$ e $i_q = 5 \text{ A}$, se dibuja un punto en $(-1,5)$. Como se puede apreciar, este es un sistema de coordenadas cartesianas. También puede convertirse en un sistema de coordenadas polares, que utiliza una magnitud y un ángulo. La magnitud del vector será $$i_{s} = \sqrt{i_d^2+i_q^2} \text{ ,}$$

y el ángulo,

$$\gamma = \arctan\left(\frac{i_q}{i_d}\right) \text{ .}$$

Se puede observar que la corriente máxima puede expresarse más fácilmente como $i_s$, independientemente del ángulo $\gamma$ (no debe confundirse con el $\gamma$ de la transformada de Clarke). Por lo tanto, se puede representar $i_s = I_{s,\text{máx}} , \forall \gamma \in [0,2\pi]$.

En la figura [i_polar] se observa como resulta ser un círculo, lo cual tiene sentido, ya que es un vector de magnitud constante. Además, se representan los puntos $i_s\angle \gamma = I_{s,\text{máx}} \angle{\frac{3\pi}{4}}$ y $(-1,5)$.

TH (Hipérbolas de Par)

Si se estudia la ecuación del par [eq_tq_dq], es evidente que $T_{\text{em}}$ es una función de $(i_d, i_q)$. El resto de parámetros son constantes, por lo que se puede establecer un valor fijo de par y deslizar alrededor de $(i_d, i_q)$ para generar una curva. La forma de la curva resultante es una hipérbola, que en su forma polar se expresa

$$T_{\text{em}} = \frac{3}{2}pp\cdot((L_d - L_q)\cdot i_s^2 \cdot \sin(\gamma)\cos(\gamma) + \lambda_m\cdot i_s\cdot \sin(\gamma)) \text{ .} \label{eq_tq_pol}$$

El gráfico se limita a los cuadrantes 2 y 3 por un motivo ilustrado con estas hipérbolas: solo los valores negativos de $i_d$ contribuyen a la generación de par en un PMSM con imanes radiales. Cuando $i_d&gt;0$, se necesita más corriente para generar la misma cantidad de par. Cuanto más alejada está la hipérbola del eje $i_d$, más par representa en valor absoluto. Aquellas hipérbolas que quedan por encima del eje $i_d$, es decir, $i_q &gt; 0$ son par positivo, mientras que si $i_q &lt; 0$, el par es de sentido opuesto.

VLE (Elipses de Límite de Voltaje)

Tomando la ecuación de voltaje [eq_vle_dq], se puede demostrar que es una elipse. Del mismo modo que con las hipérbolas de par, se pueden establecer una velocidad y una tensión, y deslizar valores de $(i_d, i_q)$ para generar la curva.

$$1 \geq \frac{\left(\frac{\lambda_m}{L_d}+i_d\right)^2}{\left(\frac{\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}}{L_d\omega_e}\right)^2}+\frac{i_q^2}{\left(\frac{\frac{V_{\text{DC}}}{\sqrt{3}}}{L_q\omega_e}\right)^2}$$

Al representar estas elipses, normalmente se anotan los valores de velocidad en RPM mecánicas, ya que es mucho más fácil hacerse una idea de los límites del motor junto al resto de curvas ($\omega_m [\text{RPM}] = \frac{1}{pp} \omega_e \text{ }\left[\frac{\text{rad}}{s}\right] \cdot \frac{60}{2\pi}$).

Las elipses se reducen a medida que la velocidad aumenta. El foco de las elipses está ubicado exactamente en $(i_d, i_q)=(-I_{\text{sc}}, 0) = \left(-\frac{\lambda_m}{L_d},0\right)$. En el gráfico anterior, el foco está fuera del círculo de límite de corriente, pero no siempre es el caso. Si $I_{\text{sc}} \leq I_{s,\text{máx}}$, teóricamente el motor puede alcanzar una velocidad infinita, ya que las elipses colapsan en un solo punto.